Задание 20 ЕГЭ профиль: Числа и их свойства

1. Пусть $a$ — первый член, $d$ — разность; оба числа натуральные (разность двух натуральных чисел целая, прогрессия возрастает). Тогда $S_{5} = \dfrac{2a + 4d}{2} \cdot 5 = 145$, откуда $2a + 4d = 58$.
2. а) При $d = 6$: $2a = 58 - 24 = 34$, $a = 17$. Прогрессия $17$, $23$, $29$, $35$, $\ldots$ — натуральные числа, сумма $5$ членов равна $145$. Ответ: да.
3. б) При $a = 7$: $4d = 58 - 14 = 44$, $d = 11$. Прогрессия $7$, $18$, $29$, $40$, $\ldots$ — возрастающая, из натуральных чисел, сумма $5$ членов равна $145$. Ответ: да.
4. в) Так как $a \geqslant 1$, $4d = 58 - 2a \leqslant 56$, поэтому $d \leqslant \dfrac{56}{4}$, то есть $d \leqslant 14$. При $d = 14$: $a = \dfrac{58 - 56}{2} = 1$. Прогрессия $1$, $15$, $29$, $43$, $\ldots$ удовлетворяет условию. Ответ: $14$.

Ответ: а) да; б) да; в) $14$

1. Сумма всех оценок равна $3{,}7 \cdot 10 = 37$. Пусть двоек ровно $p$; остальные $m = 10 - p$ оценок — тройки, четвёрки и пятёрки: их сумма лежит между $3m$ и $5m$. Значит, $30 - 3p \leqslant 37 - 2p \leqslant 50 - 5p$, откуда $p \leqslant \dfrac{13}{3}$. Любое такое $p$ достижимо: нужная сумма набирается тройками, четвёрками и пятёрками.
2. а) Для $p = 4$ условие выполнено. Пример: двоек $4$, троек $0$, четвёрок $1$, пятёрок $5$; сумма $8 + 0 + 4 + 25 = 37$, учеников $10$. Ответ: да.
3. б) Пусть пятёрок $b$, тогда двоек $10 - b$ и $2(10 - b) + 5b = 37$, откуда $3b = 17$. Число $17$ не делится на $3$, так что $b$ не целое. Ответ: нет.
4. в) Из неравенства $p \leqslant \dfrac{13}{3}$ получаем $p \leqslant 4$. Пример для $p=4$: двоек $4$, троек $0$, четвёрок $1$, пятёрок $5$; сумма $8 + 0 + 4 + 25 = 37$. Ответ: $4$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $4$