Задание 19 ЕГЭ профиль: Задача с параметром

1. Замена $t = 2^x$, $t > 0$ (каждому $t > 0$ соответствует ровно одно $x = \log_{2} t$). Уравнение принимает вид $t^2 - (a + 6)t + 5a + 5 = 0$.
2. Левая часть раскладывается: $t^2 - (a + 1 + 5)t + 5(a + 1) = (t - 5)(t - (a + 1))$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = a + 1$.
3. Корень $t_1 = 5 > 0$ подходит всегда и даёт одно $x$. Корень $t_2 = a + 1$ даёт решение, только если $t_2 > 0$, то есть $a > -1$, и тогда он даёт новое $x$, если $t_2 \neq t_1$, то есть $a \neq 4$.
4. Итак: при $a \leqslant -1$ — один корень; при $a = 4$ корни $t$ совпали — один корень; при $a > -1$, $a \neq 4$ — два корня.
5. Условие «ровно один корень» выполняется при $a \in \left(-\infty;\,-1\right] \cup \{4\}$.

   $-1$$4$$a$

Ответ: $a \in \left(-\infty;\,-1\right] \cup \{4\}$

1. Так как $x > 0$, разделим обе части на $x$ и отделим параметр: неравенство равносильно $a < 4\left(x + \dfrac{4}{x}\right)$.
2. Для $x > 0$ по неравенству о средних $x + \dfrac{4}{x} \geqslant 2\sqrt{4} = 4$, причём равенство достигается при $x = 2$. Значит, наименьшее значение выражения $4\left(x + \dfrac{4}{x}\right)$ при $x > 0$ равно $16$.
3. Неравенство строгое и должно выполняться при всех $x > 0$, значит, $a$ меньше наименьшего значения; при $a = 16$ в точке $x = 2$ получается равенство, поэтому $a = 16$ не подходит.
4. Ответ: $a \in \left(-\infty;\,16\right)$.

   $16$$a$

Ответ: $a \in \left(-\infty;\,16\right)$