Задание 18 ЕГЭ профиль: Планиметрия

1. а) Обозначим $\angle B = \beta$. Медиана к гипотенузе равна её половине, $MC = MB$, поэтому $\angle MCB = \beta$. Биссектриса делит прямой угол пополам: $\angle LCB = 45^\circ$. Тогда $\angle LCM = \angle LCB - \angle MCB = 45^\circ - \beta$.
2. В прямоугольном треугольнике $CHB$: $\angle HCB = 90^\circ - \beta$, поэтому $\angle HCL = \angle HCB - \angle LCB = 90^\circ - \beta - 45^\circ = 45^\circ - \beta$. Итак, $\angle HCL = \angle LCM$.

   $A$$B$$C$$H$$M$$L$

3. б) Площадь $ABC$ равна сумме площадей $ACL$ и $BCL$: $\dfrac12 \cdot 14 \cdot 48 = \dfrac12 \cdot 48 \cdot CL \sin 45^\circ + \dfrac12 \cdot 14 \cdot CL \sin 45^\circ$.
4. Отсюда $672 = 62 \cdot CL \cdot \dfrac{\sqrt2}{2}$ и $CL = \dfrac{1344}{62\sqrt2} = \dfrac{336\sqrt2}{31}$.

Ответ: б) $\dfrac{336\sqrt2}{31}$

1. а) В параллелограмме $AD \parallel BC$, поэтому $AE \parallel BC$. Треугольники $APE$ и $CPB$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных и вертикальные углы при $P$).

   $A$$B$$C$$D$$E$$P$

2. Значит, $\dfrac{AP}{PC} = \dfrac{AE}{BC} = \dfrac{AE}{AD} = \dfrac{1}{4}$, так как $BC = AD$ и $AE = \dfrac{1}{4} AD$.
3. б) Из а) $AP = \dfrac{1}{5} AC$. Диагональ делит параллелограмм пополам: $S_{ABC} = \dfrac{30}{2} = 15$.
4. Треугольники $ABP$ и $ABC$ имеют общую вершину $B$, основания $AP$ и $AC$ лежат на одной прямой: $S_{ABP} = 15 \cdot \dfrac{1}{5} = 3$.

Ответ: б) $3$