Задание 17 ЕГЭ профиль: Математическое моделирование

Модель реальной ситуации · исследование. Вторая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 17 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Как решать

Типичные ошибки

Примеры с разбором

Наибольшая мощность в цепи

На заводе имеется генератор с ЭДС ε=48\varepsilon = 48 В и внутренним сопротивлением r=1r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки RR (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I=εr+RI = \dfrac{\varepsilon}{r + R}. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P=I2RP = I^2R. Какова максимальная тепловая мощность PP, которая может быть выделена нагрузкой?

Разбор и ответ
  1. Сопротивление нагрузки R⩾0R \geqslant 0. По закону Ома I=εr+RI = \dfrac{\varepsilon}{r + R}, поэтому мощность P(R)=I2R=ε2R(R+r)2=2304R(R+1)2P(R) = I^2 R = \dfrac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2} = \dfrac{2304R}{(R + 1)^2}.
  2. Найдём производную по правилу для частного: P′(R)=2304⋅(R+1)2−R⋅2(R+1)(R+1)4P'(R) = 2304 \cdot \dfrac{(R + 1)^2 - R \cdot 2(R + 1)}{(R + 1)^4}. Сократим на R+1>0R + 1 > 0: P′(R)=2304⋅R+1−2R(R+1)3=2304(1−R)(R+1)3P'(R) = 2304 \cdot \dfrac{R + 1 - 2R}{(R + 1)^3} = \dfrac{2304(1 - R)}{(R + 1)^3}.
  3. Знаменатель положителен, поэтому знак P′(R)P'(R) совпадает со знаком 1−R1 - R: при 0⩽R<10 \leqslant R < 1 производная положительна (мощность растёт), при R>1R > 1 — отрицательна (мощность убывает). Значит, R=1R = 1 — точка максимума.
    +−0011RRmax
    Знак P′(R)P'(R) на области R⩾0R \geqslant 0
  4. Наибольшая мощность: P(1)=2304⋅1(1+1)2=23044⋅1=576P(1) = \dfrac{2304 \cdot 1}{(1 + 1)^2} = \dfrac{2304}{4 \cdot 1} = 576 Вт.

Ответ: $576$ Вт

Наименьшие затраты на материал

Ёмкость в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и без крышки должна вмещать 512512 м³. Материал для дна стоит 500500 руб. за квадратный метр, а для боковых стенок — 250250 руб. за квадратный метр. Какой должна быть сторона основания (в метрах), чтобы затраты на материал были наименьшими? Найдите эти затраты в рублях.

Разбор и ответ
  1. Пусть сторона основания xx м, x>0x > 0. Высота ёмкости h=512x2h = \dfrac{512}{x^2} м, площадь дна x2x^2 м², площадь четырёх боковых стенок 4xh=2048x4xh = \dfrac{2048}{x} м².
  2. Затраты на материал: f(x)=500x2+250⋅2048x=500x2+512000xf(x) = 500x^2 + 250 \cdot \dfrac{2048}{x} = 500x^2 + \dfrac{512000}{x} руб.
  3. Производная: f′(x)=1000x−512000x2=1000x3−512000x2=1000 (x3−512)x2f'(x) = 1000x - \dfrac{512000}{x^2} = \dfrac{1000x^3 - 512000}{x^2} = \dfrac{1000\,(x^3 - 512)}{x^2}.
  4. f′(x)=0f'(x) = 0 при x3=512x^3 = 512, то есть x=8x = 8. Знаменатель положителен, поэтому при 0<x<80 < x < 8 имеем f′(x)<0f'(x) < 0 (затраты убывают), при x>8x > 8 — f′(x)>0f'(x) > 0 (растут). Значит, x=8x = 8 — точка минимума.
    −+0088xxmin
    Знак f′(x)f'(x) при x>0x > 0
  5. Наименьшие затраты: f(8)=500⋅82+5120008=32000+64000=96000f(8) = 500 \cdot 8^2 + \dfrac{512000}{8} = 32000 + 64000 = 96000 руб.

Ответ: сторона $8$ м, затраты $96000$ руб.

Какие задачи встретятся в тренажёре

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 17 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа