Задание 16 ЕГЭ профиль: Неравенства

Логарифмические · показательные. Вторая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 16 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Первый шаг — ОДЗ

Под логарифмом — положительные числа, основание логарифма положительно и не равно $1$ , знаменатели не нули.
Без найденной ОДЗ решение не засчитывают.

Метод интервалов

Перенеси всё в одну сторону, разложи на множители, отметь нули: из числителя — закрашенные (при нестрогом знаке), из знаменателя — выколотые.
Логарифм с основанием $a > 1$ сохраняет знак неравенства, с $0 < a < 1$ — меняет.
Показательные неравенства — замена $t = a^x$ , $t > 0$ .

Типичные ошибки

Умножают на выражение, знак которого неизвестен.
Теряют отдельные точки-решения (например, где числитель $(t - 3)^2 = 0$ ).

Примеры с разбором

Показательное неравенство с модулем в показателе

Решите неравенство $9^{\left|x + 2\right|} - 8\cdot 3^{\left|x + 2\right|} - 9 < 0$ .

Разбор и ответ

ОДЗ
Показательная функция и модуль определены при всех $x$ , знаменателей нет: ОДЗ — все действительные числа.
Так как $9^{\left|x + 2\right|} = \left(3^{\left|x + 2\right|}\right)^2$ , сделаем замену $t = 3^{\left|x + 2\right|}$ . Модуль неотрицателен, $\left|x + 2\right| \geqslant 0$ , а функция $y = 3^z$ возрастает, поэтому $t \geqslant 3^0 = 1$ . Неравенство примет вид $t^2 - 8t - 9 < 0$ .
Корни трёхчлена $t^2 - 8t - 9$ найдём по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 8$ , $t_1 \cdot t_2 = -9$ , откуда $t_1 = -1$ , $t_2 = 9$ . Значит, $t^2 - 8t - 9 = (t + 1)(t - 9)$ . Получаем $(t + 1)(t - 9) < 0$ .
Решим неравенство методом интервалов с учётом $t \geqslant 1$ . Корень $t = -1$ меньше $1$ , а при $t \geqslant 1$ множитель $t + 1$ положителен. Получаем $1 \leqslant t < 9$ .
$-1$ $1$ $9$ $t$
Метод интервалов; левее $1$ — нет значений $t$ (условие $t \geqslant 1$ )
Вернёмся к $x$ : $3^{\left|x + 2\right|} < 3^{2}$ ; основание $3 > 1$ , поэтому $\left|x + 2\right| < 2$ . Неравенство $|x - m| < k$ равносильно $-k < x - m < k$ , поэтому $-4 < x < 0$ .

Ответ: $\left(-4;\,0\right)$

Показательное неравенство: замена

Решите неравенство $9^x - 4\cdot 3^{x + 1} + 27 < 0$ .

Разбор и ответ

ОДЗ
Показательная функция определена при всех $x$ , знаменателей в неравенстве нет, поэтому ОДЗ — все действительные числа.
Заметим, что $9^x = (3^x)^2$ и $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x$ . Сделаем замену $t = 3^x$ . Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t > 0$ . Неравенство примет вид $t^2 - 12t + 27 < 0$ .
Корни трёхчлена $t^2 - 12t + 27$ найдём по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 12$ , $t_1 \cdot t_2 = 27$ , откуда $t_1 = 3$ , $t_2 = 9$ . Значит, $t^2 - 12t + 27 = (t - 3)(t - 9)$ . Получаем $(t - 3)(t - 9) < 0$ .
Решим это неравенство методом интервалов, учитывая $t > 0$ . Получаем $3 < t < 9$ .
$0$ $3$ $9$ $t$
Метод интервалов; левее нуля — нет значений $t$ (условие $t > 0$ )
Вернёмся к переменной $x$ : $3^{1} < 3^x < 3^{2}$ (представили $3$ и $9$ как степени числа $3$ ). Основание $3 > 1$ , функция $y = 3^x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются: $1 < x < 2$ .

Ответ: $\left(1;\,2\right)$

Какие задачи встретятся в тренажёре

Дробно-рациональное неравенство с логарифмом
Логарифмическое неравенство с ОДЗ
Логарифмическое неравенство: замена
Показательное неравенство с модулем в показателе
Показательное неравенство: замена

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 16 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа