Задание 15 ЕГЭ профиль: Стереометрия

Доказательство · углы и расстояния · сечения. Вторая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 15 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Как решать

а) Доказательство: перпендикулярность (теорема о трёх перпендикулярах), параллельность, построение сечения.
б) Вычисление: координатный метод, объём ( $h = \dfrac{3V}{S}$ ), подобие и теорема Пифагора.

Координатный метод

Плоскость $ax + by + cz + d = 0$ ; расстояние до неё $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .
Угол между прямыми — через скалярное произведение направляющих векторов.

Типичные ошибки

Пункт б) решён, но а) не доказано — это меньше баллов: доказательство тоже нужно.

Примеры с разбором

Правильная треугольная пирамида: расстояние между скрещивающимися прямыми

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $ABC$ равна $12\sqrt3$ , а боковое ребро равно $13$ .
а) Докажите, что прямые $AB$ и $SC$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$ .

Разбор и ответ

а) Пусть $M$ — середина ребра $AB$ . В правильном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является высотой: $CM \perp AB$ . В равнобедренном треугольнике $SAB$ медиана $SM$ тоже высота: $SM \perp AB$ .
Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CM$ и $SM$ плоскости $SMC$ , значит, $AB \perp (SMC)$ . Прямая $SC$ лежит в этой плоскости, поэтому $AB \perp SC$ .
б) В плоскости $SMC$ проведём $MH \perp SC$ ( $H \in SC$ ). Так как $AB \perp (SMC)$ , то $AB \perp MH$ . Значит, $MH$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым $AB$ и $SC$ , то есть является их общим перпендикуляром, и искомое расстояние равно $MH$ .
$A$ $B$ $C$ $S$ $M$ $O$ $H$
$AB \perp (SMC)$ ; в этой плоскости $MH \perp SC$ — общий перпендикуляр прямых $AB$ и $SC$
Центр $O$ основания лежит на медиане $CM$ и делит её в отношении $2:1$ от вершины: $CO = R = 12$ — радиус описанной окружности, $CM = \dfrac32 R = 18$ . $SO = \sqrt{SC^2 - CO^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5$ .
Площадь треугольника $SMC$ найдём двумя способами: $S = \dfrac12 CM \cdot SO = \dfrac12 SC \cdot MH$ . Отсюда $MH = \dfrac{CM \cdot SO}{SC} = \dfrac{18 \cdot 5}{13} = \dfrac{90}{13}$ .

Ответ: б) $\dfrac{90}{13}$

Какие задачи встретятся в тренажёре

Куб: диагональ перпендикулярна плоскости, расстояние
Правильная пирамида: прямая параллельна плоскости, расстояние
Правильная треугольная пирамида: расстояние между скрещивающимися прямыми

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 15 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа