Задание 14 ЕГЭ профиль: Уравнения

1. а) Заметим, что $3^{2\sin x} = \left(3^{\sin x}\right)^2$. Сделаем замену $t = 3^{\sin x}$, $t > 0$: $27t^2 - 12t + 1 = 0$.
2. $D = 12^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 36$, $\sqrt D = 6$, откуда $t_1 = \dfrac{1}{9}$, $t_2 = \dfrac{1}{3}$ — оба положительны.
3. $3^{\sin x} = \dfrac{1}{9} = 3^{-2}$, поэтому $\sin x = -2$.
4. $3^{\sin x} = \dfrac{1}{3} = 3^{-1}$, поэтому $\sin x = -1$.
5. Уравнение $\sin x = -2$ решений не имеет: $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$. Остаётся $\sin x = -1$.
6. $\sin x = -1$ (точки окружности с ординатой $-1$): $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
7. б) Способ 1 · числовая окружность
   Отметим на числовой окружности дугу от $-\dfrac{7\pi}{2}$ до $-\dfrac{3\pi}{2}$ (обход против часовой стрелки) и точки найденных серий. На дуге лежат точки, соответствующие числам $-\dfrac{5\pi}{2}$.

   $-\dfrac{5\pi}{2}$$-\dfrac{7\pi}{2}$$-\dfrac{3\pi}{2}$

8. б) Способ 2 · двойное неравенство
   Для каждой серии потребуем, чтобы корень лежал на отрезке, и найдём подходящие целые значения.

   Серия $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$.$-\dfrac{7\pi}{2} \leqslant -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leqslant -\dfrac{3\pi}{2}$$\Leftrightarrow\ -3 \leqslant 2k \leqslant -1$ (разделили на $\pi$ и перенесли $-\dfrac{1}{2}$)$\Leftrightarrow\ -\dfrac{3}{2} \leqslant k \leqslant -\dfrac{1}{2}$Целые значения: $k = -1$: $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\cdot (-1) = -\dfrac{5\pi}{2}$.

9. Оба способа дают одни и те же корни: $-\dfrac{5\pi}{2}$.

Ответ: а) $-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{5\pi}{2}$