Задание 13 ЕГЭ профиль: Финансовая математика

Кредиты · вклады. Первая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 13 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Кредиты и вклады

Начисление процентов: долг умножается на $k = 1 + \dfrac{r}{100}$ .
Равные платежи $X$ : $S k^n = X\,(k^{n-1} + \ldots + k + 1)$ .
Долг уменьшается равномерно: платёж — часть долга $\dfrac{S}{n}$ плюс проценты на остаток.
Вклад с капитализацией: $S_n = S_0 k^n$ (плюс доплаты, если они есть).

План

Составь таблицу по годам: долг в начале, после начисления процентов, платёж, остаток.

Типичные ошибки

Начисляют проценты на исходную сумму, а не на текущий долг.

Примеры с разбором

Кредит равными платежами

В июле 2030 года планируется взять кредит $154\,800$ рублей в банке на два года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами?

Разбор и ответ

Пусть $S = 154\,800$ рублей — сумма кредита, $X$ рублей — каждый из равных платежей. Каждый январь долг увеличивается на $25\%$ , то есть умножается на $k = 1 + \dfrac{25}{100} = 1{,}25 = \dfrac{5}{4}$ .

Составим таблицу изменения долга:

Год	Долг до начисления %	Долг после начисления %	Платёж	Долг после платежа
1	$S$	$1{,}25S$	$X$	$1{,}25S - X$
2	$1{,}25S - X$	$1{,}25(1{,}25S - X)$	$X$	$1{,}25(1{,}25S - X) - X$

После второго платежа кредит погашен, значит, долг после платежа в последней строке равен нулю: $1{,}25(1{,}25S - X) - X = 0$ . Раскроем скобки: $1{,}25^2S - (1{,}25 + 1)X = 0$ — в скобках сумма геометрической прогрессии.
Вычислим: $1{,}25^2 = \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{25}{16}$ , $1{,}25 + 1 = \dfrac{9}{4}$ . Тогда $X = \dfrac{\dfrac{25}{16} \cdot S}{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{\dfrac{25}{16} \cdot 154\,800}{\dfrac{9}{4}} = 107\,500$ рублей.
Общая сумма платежей — это двумя платежами по $X$ : $2 \cdot 107\,500 = 215\,000$ рублей.

Ответ: 215000

Вклад с капитализацией

Вклад в размере $500$ тыс. рублей положили в банк под $10\%$ годовых. В конце каждого года начисленные проценты прибавляются к вкладу. Какая сумма будет на счёте через $2$ года? Ответ дайте в тысячах рублей.

Разбор и ответ

Каждый год к вкладу прибавляется

10\%

от текущей суммы, то есть сумма умножается на

1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1

. Составим таблицу (здесь

S

— первоначальный вклад):

Год	Сумма в начале года	Начислено процентов	Сумма в конце года
1	$S$	$0{,}1 \cdot S$	$1{,}1S$
2	$1{,}1S$	$0{,}1 \cdot 1{,}1S$	$1{,}1^2S$

Через $2$ года на счёте будет $1{,}1^2S = 1{,}21 \cdot 500 = 605$ тыс. рублей.

Ответ: 605

Какие задачи встретятся в тренажёре

Вклад с капитализацией
Кредит равными платежами
Кредит с уменьшением долга на одну и ту же сумму

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 13 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа