Задание 25 ОГЭ: Геометрия повышенной сложности

1. $C$$B$$A$$O$

   Окружность проходит через точку $B$, лежащую на прямой $BC$, и касается этой прямой — значит, касается её именно в точке $B$. Центр $O$ лежит на перпендикуляре к $BC$ в точке $B$, то есть на прямой, параллельной $AC$, и $OB = R$.
2. Гипотенуза $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Введём координаты: $C(0;\,0)$, $B(8;\,0)$, $A(0;\,6)$, тогда $O(8;\,R)$.
3. $OA = R$: $8^2 + (6 - R)^2 = R^2$, откуда $64 + 36 - 12R = 0$, $R = \dfrac{100}{12} = \dfrac{25}{3}$.

Ответ: $\dfrac{25}{3}$

1. $A$$C$$B$$H$$I$$O$

   Пусть $H$ — середина основания $AC$. Треугольник равнобедренный, поэтому центр $I$ вписанной окружности и центр $O$ данной окружности (она касается стороны $AC$ и продолжений боковых сторон) лежат на прямой $BH$, а обе окружности касаются $AC$ в точке $H$.
2. $AI$ — биссектриса угла $BAC$, $AO$ — биссектриса смежного с ним внешнего угла. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны: $\angle IAO = 90^\circ$.
3. В прямоугольном треугольнике $IAO$ отрезок $AH$ — высота к гипотенузе, поэтому $AH^2 = IH \cdot HO$: $5^2 = r \cdot 10$, $r = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$.

Ответ: $2{,}5$