Задание 2 ЕГЭ профиль: Векторы

Координаты · длина · скалярное произведение. Первая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 2 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Координаты

Вектор $\overrightarrow{AB}$ : из координат конца вычесть координаты начала: $(x_B - x_A;\ y_B - y_A)$ .
Сумма, разность и умножение на число — покоординатно: $\vec a + 2\vec b = (x_1 + 2x_2;\ y_1 + 2y_2)$ .

Длина и скалярное произведение

$|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
$\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi$ .
$\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0$ ; коллинеарны, если координаты пропорциональны.

Типичные ошибки

Вычитают «начало минус конец» — получается вектор с противоположным знаком.
Длина суммы — не сумма длин: сначала сложи векторы, потом считай длину.

Примеры с разбором

Длины векторов и угол между ними

Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны $3$ и $8$ , а угол между ними равен $120^\circ$ . Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$ .

Разбор и ответ

По определению $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi$ .
$\cos 120^\circ = -0{,}5$ , поэтому $\vec a \cdot \vec b = 3 \cdot 8 \cdot (-0{,}5) = -12$ .
$120^\circ$ $|\vec a| = 3$ $|\vec b| = 8$
Скалярное произведение: $|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi$

Ответ: -12

Скалярное произведение по координатам

Даны векторы $\vec a(-7;\,-2)$ и $\vec b(7;\,-7)$ . Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$ .

Разбор и ответ

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: $\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2$ .
$\vec a \cdot \vec b = (-7) \cdot 7 + (-2) \cdot (-7) = -35$ .
$\vec a$ $\vec b$
$\vec a \cdot \vec b = -35 < 0$ — угол между векторами тупой

Ответ: -35

Какие задачи встретятся в тренажёре

Векторы на клетчатой плоскости
Длина вектора по координатам
Длины векторов и угол между ними
Перпендикулярность и коллинеарность
Скалярное произведение по координатам

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 2 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа