Задание 3 ЕГЭ профиль: Стереометрия

Многогранники · тела вращения · объёмы. Первая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 3 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Объёмы

Призма и цилиндр: $V = S_{\text{осн}}\,h$ ; пирамида и конус: $V = \dfrac13 S_{\text{осн}}\,h$ .
Шар: $V = \dfrac43\pi R^3$ ; площадь сферы $S = 4\pi R^2$ .

Площади поверхностей

Боковая поверхность цилиндра $2\pi rh$ , конуса $\pi r l$ ( $l$ — образующая).
Полная поверхность — боковая плюс основания.

Подобие

Если все размеры увеличить в $k$ раз, площади вырастут в $k^2$ , а объёмы — в $k^3$ раз.
Многогранник из вершин призмы или параллелепипеда чаще всего — пирамида или «половинка» тела.

Типичные ошибки

Забывают множитель $\dfrac13$ у пирамиды и конуса.
Путают радиус и диаметр, сторону основания и высоту.

Примеры с разбором

Цилиндр и конус с общим основанием

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен $34$ . Найдите объём цилиндра.

Разбор и ответ

При общих основании и высоте объём цилиндра втрое больше объёма конуса: $V_{\text{цил}} = S h = 3 \cdot \tfrac13 S h$ .
$V_{\text{цил}} = 3 \cdot 34 = 102$ .

Ответ: 102

Цилиндр, описанный около шара

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $24$ . Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Разбор и ответ

Полная поверхность цилиндра: $S_1 = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 6\pi r^2$ , поверхность шара $S_2 = 4\pi r^2$ . Значит, $S_2 = \dfrac23 S_1$ .
$O$ $r$ $2r$ $2r$
Осевое сечение — квадрат со стороной $2r$ и вписанный круг: высота цилиндра $2r$ , радиус основания $r$
$S_1 = \dfrac32 \cdot 24 = 36$ .

Ответ: 36

Какие задачи встретятся в тренажёре

Многогранник в прямоугольном параллелепипеде
Переливание жидкости
Площади и объёмы подобных тел
Прямоугольный параллелепипед
Сечение конуса: подобные тела
Сечение призмы через среднюю линию основания
Цилиндр и конус с общим основанием
Цилиндр, описанный около шара

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 3 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа