Задание 5 ЕГЭ профиль: Вероятности сложных событий

Сложение и умножение · независимость. Первая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 5 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Сложение и умножение

Несовместные события: $P(A + B) = P(A) + P(B)$ ; совместные: $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ .
Независимые события: $P(AB) = P(A)\,P(B)$ .

Полная вероятность

Если событие наступает в разных случаях $H_i$ : $P(A) = \sum P(H_i)\,P(A \mid H_i)$ .
Выбор без возвращения: после первого выбора всех предметов на один меньше, например $\dfrac{4}{16} \cdot \dfrac{3}{15}$ .

Типичные ошибки

Перемножают вероятности зависимых событий.
Забывают про порядок: «один синий и один красный» — это «сначала синий» плюс «сначала красный».

Примеры с разбором

Формула полной вероятности

Две фабрики выпускают одинаковые батарейки. Первая фабрика выпускает $55\%$ всех батареек, вторая — $45\%$ . Первая фабрика выпускает $5\%$ бракованных батареек, а вторая — $1\%$ . Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине батарейка окажется бракованной.

Разбор и ответ

Изделие сделано либо на первой фабрике (вероятность $0{,}55$ ), либо на второй ( $0{,}45$ ).
По формуле полной вероятности: $P = 0{,}55 \cdot 0{,}05 + 0{,}45 \cdot 0{,}01 = 0{,}0275 + 0{,}0045 = 0{,}032$ .
$0{,}55$ $0{,}05$ $0{,}55 \cdot 0{,}05$ $0{,}95$ $0{,}45$ $0{,}01$ $0{,}45 \cdot 0{,}01$ $0{,}99$
Брак получается двумя путями — их вероятности складываются

Ответ: 0,032

Вероятность попадания в интервал

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше $1010$ г, равна $0{,}82$ . Вероятность того, что масса буханки окажется больше $990$ г, равна $0{,}97$ . Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше $990$ г, но меньше $1010$ г.

Разбор и ответ

Вероятность того, что масса не больше $990$ г: $1 - 0{,}97 = 0{,}03$ .
меньше $1010$ г: $0{,}82$ больше $990$ г: $0{,}97$ не больше $990$ : $0{,}03$ ? $990$ г $1010$ г
Масса буханки: искомый отрезок — общая часть двух верхних
Событие «меньше $1010$ г» состоит из несовместных событий «не больше $990$ г» и «больше $990$ г, но меньше $1010$ г».
$P = 0{,}82 - 0{,}03 = 0{,}79$ .

Ответ: 0,79

Какие задачи встретятся в тренажёре

Вероятность попадания в интервал
Независимые выстрелы
Система контроля качества
Формула полной вероятности

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 5 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа