Задание 15 ОГЭ: Треугольники

Углы · стороны · площадь. Первая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 15 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Треугольник

Сумма углов $180^\circ$ ; внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Равнобедренный: углы при основании равны; биссектриса к основанию — ещё медиана и высота.
Площадь: $S = \dfrac12 ah = \dfrac12 ab \sin C$ .

Прямоугольный треугольник

$a^2 + b^2 = c^2$ ; катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы.
$\sin A = \dfrac ac$ , $\cos A = \dfrac bc$ , $\operatorname{tg} A = \dfrac ab$ .

Типичные ошибки

Путают биссектрису, медиану и высоту.

Примеры с разбором

Высота и биссектриса прямоугольного треугольника

Острые углы прямоугольного треугольника равны $62^\circ$ и $28^\circ$ . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Разбор и ответ

Пусть $\angle C = 90^\circ$ , $\angle A = 62^\circ$ , $\angle B = 28^\circ$ ; $CH$ — высота, $CL$ — биссектриса.
В прямоугольном треугольнике $ACH$ : $\angle ACH = 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$ .
Биссектриса делит прямой угол пополам: $\angle ACL = 45^\circ$ .
$\angle HCL = \angle ACL - \angle ACH = 45^\circ - 28^\circ = 17^\circ$ .
$A$ $B$ $C$ $H$ $L$ $62^\circ$ $28^\circ$ $28^\circ$ $17^\circ$
$\angle ACH = \angle B = 28^\circ$ , а биссектриса делит прямой угол на два угла по $45^\circ$

Ответ: 17

Биссектриса и внешний угол

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $73^\circ$ , $AD$ — биссектриса, угол $ADB$ равен $88^\circ$ . Найдите величину угла $BAC$ . Ответ дайте в градусах.

Разбор и ответ

Угол $ADB$ — внешний угол треугольника $ADC$ , он равен сумме двух углов этого треугольника, не смежных с ним: $\angle ADB = \angle C + \angle CAD$ .
$\angle CAD = \angle ADB - \angle C = 88^\circ - 73^\circ = 15^\circ$ .
Биссектриса делит угол $A$ пополам: $\angle BAC = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$ .
$A$ $B$ $C$ $D$ $15^\circ$ $15^\circ$ $73^\circ$
Биссектриса $AD$ делит угол $BAC$ на два равных угла

Ответ: 30

Какие задачи встретятся в тренажёре

Биссектриса и внешний угол
Высота и биссектриса прямоугольного треугольника
Средняя линия и площадь

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 15 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа