Задание 16 ОГЭ: Окружность

Вписанные и центральные углы · касательные. Первая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 16 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Углы в окружности

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; центральный — всей дуге.
Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Касательные и четырёхугольники

Касательная перпендикулярна радиусу в точку касания; отрезки касательных из одной точки равны.
Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов $180^\circ$ ; в описанном равны суммы противоположных сторон.

Типичные ошибки

Путают вписанный и центральный угол — смотри, где вершина: на окружности или в центре.

Примеры с разбором

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $118^\circ$ , угол $CAD$ равен $48^\circ$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.

Разбор и ответ

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$ : $\angle ADC = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$ .
В треугольнике $ACD$ : $\angle ACD = 180^\circ - 48^\circ - 62^\circ = 70^\circ$ .
Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные и опираются на одну дугу $AD$ , поэтому $\angle ABD = \angle ACD = 70^\circ$ .
$A$ $B$ $C$ $D$ $70^\circ$ $70^\circ$ $48^\circ$ $62^\circ$
Углы $ABD$ и $ACD$ опираются на одну дугу $AD$ , поэтому они равны

Ответ: 70

Описанный четырёхугольник

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 2$ , $CD = 12$ . Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$ .

Разбор и ответ

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$ .
$A$ $B$ $C$ $D$ $x$ $y$ $y$ $z$ $z$ $t$ $t$ $x$
Отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны: $AB + CD = x + y + z + t = BC + AD$
$BC + AD = AB + CD = 2 + 12 = 14$ .
Периметр: $14 + 14 = 28$ .

Ответ: 28

Какие задачи встретятся в тренажёре

Вписанный четырёхугольник
Описанный четырёхугольник

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 16 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа