Задание 20 ОГЭ: Алгебраические выражения и уравнения

Уравнения · системы · неравенства. Вторая часть экзамена. Ниже — что нужно знать, типичные ошибки и примеры с разбором; потренироваться можно бесплатно в тренажёре.

Решать задание 20 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа

Что нужно знать

Приёмы

Вынесение общего множителя и группировка: $x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x - 2)(x + 2)$ .
Замена: в уравнении $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ обозначь $t = x^2$ , $t \geqslant 0$ .
Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ ; так решается $x^4 = (ax + b)^2$ .
Системы — подстановкой или сложением уравнений.

Как оценивают

$2$ балла — верный ход решения и верный ответ, все шаги объяснены.
$1$ балл — ход верный, но одна вычислительная ошибка или неполные объяснения.

Типичные ошибки

Делят обе части на выражение с $x$ — и теряют корни. Лучше разложить на множители.
Забывают про условие $t \geqslant 0$ после замены $t = x^2$ .

Примеры с разбором

Биквадратное уравнение

Решите уравнение $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$ .

Разбор и ответ

Сделаем замену $t = x^2$ ( $t \geqslant 0$ ): $t^2 - 29t + 100 = 0$ .
По теореме Виета (или через дискриминант): $t_1 = 4$ , $t_2 = 25$ .
$x^2 = 4$ или $x^2 = 25$ , откуда $x = \pm 2$ или $x = \pm 5$ .

Ответ: $-5;\ -2;\ 2;\ 5$

Уравнение третьей степени: группировка

Решите уравнение $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$ .

Разбор и ответ

Сгруппируем слагаемые: $x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$ , то есть $(x - 2)(x^2 - 9) = 0$ .
Разложим разность квадратов: $(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$ .
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x = 2$ , $x = 3$ или $x = -3$ .

Ответ: $-3;\ 2;\ 3$

Какие задачи встретятся в тренажёре

Биквадратное уравнение
Неравенство (x − a)² < √c·(x − a)
Система уравнений
Уравнение вида x⁴ = (ax + b)²
Уравнение третьей степени: группировка

Каждый раз числа новые, ответ проверяется сразу, к задаче есть пошаговый разбор.

Решать задание 20 в тренажёреБесплатно, вход через Telegram — или посмотреть демо без входа